本站原创一、空间角的范围和求法
1.异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°
策略毕业论文：①平移法；②补形法③向量法。2.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°
策略毕业论文：①几何法;②向量法。3.二面角范围：0°≤θ<180°
策略毕业论文：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法；④向量法。注：二面角的计算也可利用射影面积公式S'=Scosθ来计算。
二、典型例题精析
1.异面直线所成的角。例1：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把EC1与FD1所成角看作向量EC1与FD1的夹角，用向量法求解。（图1）
思路二：平移线段C1E让C1与D1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
解法一：以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2），于是设EC1
与FD1所成的角为β，则：
∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为
解法二：延长BA至点E1，使AE1=1，连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1//E1E，D1C1=E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1//EC1，于是∠E1D1F为直线EC1与FD1所成的角。
在Rt△BE1F中，E1F=√E1E2+BF2=√52+12=√26。在Rt△D1DE1中，D1E1=√DE12+DD12=√AE12+AD2+DD12
=√12+32+22=√14。
在Rt△D1DF中，FD1=√FD2+DD12=
√CF2+CD2+DD12=√22+42+22=√24。
在△E1FD1中，由余弦定理得：
∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为
可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线l1、l2的夹角的余弦为：。
2.直线和平面所成的角。斜线和平面所成的角是直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l与平面α所成的角，ω为直线l的方向向量与平面α的法向量之间的夹角，则有ω=
特别地ω=0时，θ=，l⊥α；ω= 时，θ=0，lα或l∥α。
例2:如图4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。
解：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系，设CA=CB=a，则A（a，0，0），B（0，a，0）A1（a，0，2）D（0，0，1）
∴ ，，，，
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
∴ 平面ABD，∴ ，解得a=2。
∴ ， ，
∵ 平面ABD∴ 为平面ABD的法向量。
由 得
，∴ A1B与平面ABD所成的角为 。
评析：①因规定直线与平面所成角θ∈[0，]，两向量所成角α∈[0，π]，所以用此法向量求出的线面角应满足θ=|-α|。②一般地，设n是平面M的法向量，AB是平面M的一条斜线，A为斜足，则AB与平面M所成的角为：。
3.二面角的求法
几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：①直接利用定义，图4（1）。
②利用三垂线定理及其逆定理，（2）最常用。
③作棱的垂面，（3）。
另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角。
向量法：①从平面的法向量考虑，设 分别为平面αβ的法向量，二面角α-l-β的大小为θ，向量 的夹角为，则有θ+ =π或θ= （图5）
②如果AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。
例3：如图6，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1= √3，D是CB延长线上一点，且BD=BC。求二面角B1-AD-B的大小。
解：取BC的中点O，连AO。
由题意，平面ABC⊥平面BCC1B1，AO⊥BC，∴AO⊥平面BCC1B1，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 则 ， ，，
，∴ ， ，，由题意平面ABD，∴ 为平面ABD的法向量。
设平面AB1D的法向量为∴
得故所求二面角B1-AD-B的大小为60 °。
评析：在处理二面角不足时，可能会遇到二面角的具体大小不足，如本题中若取时，会算得 ，
从而所求二面角为120°，但依题意只为60°。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
三、归纳与提升
1.空间各种角的计算策略毕业论文都是转化为平面角或两向量的夹角
来计算的，对空间各种角的概念必须深刻理解。平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。2.几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。
3.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避开了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。