试述单位圆在诱导公式教学中应用
先引导学生在平面直角坐标系中画出与角α终边具有一定特殊对称关系的其他角的终边,并指出相对应的角用 α 如何表示,然后指出各个交点的坐标,便可以轻松自然地得出各组的诱导公式了。
设任意角α的终边与单位圆的交点为P1(x,y),则由任意角的三角函数的定义有:sinα=y,cosα=x。此时交点也可以表示为P1(cosα,sinα)。
据此定义可以继续得出:其他角α依次关于x轴,对称的角与单位圆的三个交点P2、P3、P4的坐标分别为:P2[cos(-α),sin
(-α)];P3[cos(?仔+α),sin(?仔+α)];P4[cos(?仔-α),sin(?仔-α)]。于是,比较P2、P3、P4各点与P1(x,y)的坐标关系,很自然地得出四组诱导公式:
(1)终边相同的角的三角函数关系:sin(α+2k?仔)=sinα,cos
(α+2k?仔)=cosα(k?缀z)。
(2)终边关于x轴对称的角的三角函数关系:sin(-α)=-sinα,
cos(-α)=-cosα。
(3)终边关于原点对称的角的三角函数关系:sin(?仔-α)=
-sinα,cos(?仔-α)=-cosα。
(4)终边关于对称的角的三角函数关系:sin(?仔-α)=sinα,cos(?仔-α)=-cosα。
同理,由于■-α与α终边关于直线y=x对称,且P5[cos(■-α),sin(■-α)],得出另外两组公式:?
(5)终边关于y=x对称的角的三角函数关系:sin(■-α)=cosα,
cos(■-α)=sinα。
接着,以-α代入公式(5),便可以得出另一组公式(6)sin(■+α)=cosα,cos(■+α)=-sinα。
至此,各组诱导公式就这样非常之自然地全部出现了!但不管是四组或是六组,与其说称之为公式倒不如说是数学朴实自然之美的体现。
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